АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ
Ж.К. Туркманов, М. КарынбаеваВ статье исследуются асимптотические разложения решений нелинейных обыкновен- ных дифференциальных уравнений с малым параметром. Рассматриваются два класса син- гулярно возмущенных уравнений: уравнения типа Прандтля-Тихонова с граничными слоями и устойчивыми решениями при малых параметрах, а также уравнения типа Лайтхилла с внутренними слоями и более сложной структурой решений. Представлен метод параме- тризации для анализа поведения решений вплоть до особой точки. Доказано существова- ние решения задачи Коши для уравнения Лайтхилла при определенных условиях, включая положительность начального значения и непрерывную дифференцируемость коэффициен- тов. Показано преимущество метода параметризации перед классическим методом малого параметра при построении асимптотических разложений решений в окрестности особой точки. Приведен конкретный пример применения разработанного метода
Использованные источники
1. Carrier, C. P. Boundary Layer Problems in applied mathematics / C. P. Carrier // Communications on Applied Mathematics. – 1954. – Vol. 7. – P. 11-17.
2. Вазов, В. Асимптотические разложения решений дифференциальных уравнений / В. Вазов. – Москва : Мир, 1968. – 464 с.
3. Takahashi, K. Uber eine erweiterte asymptotische Darstellung der Losung eines Systems von linearen homogenen Differentialgleichungen, welche von zwei Parametern abhängt / K.
Takahashi // Tohoku Mathematical Journal. – 1958. – Vol. 10, № 2. – P. 172-193.
4. Lighthill, M. J. A technique for rendering approximate solutions to physical problems uniformly valid / M. J. Lighthill // Philosophical Magazine. – 1949. – Vol. 40. – P. 1179-1201.
5. Алымкулов, К. Метод малого параметра и обоснование метода Лайтхилла / К. Алымкулов // Известия АН Киргизской ССР. – 1979. – № 6. – С. 8-11.
6. Туркманов, Ж. К. Об асимптотическом поведении решений возмущенных обыкно- венных дифференциальных уравнений первого порядка с иррегулярной особой точкой / Ж. К. Туркманов, М. М. Карынбаева // Сборник научных работ 78-й Международной на- учной конференции Евразийского Научного Объединения. – Москва : ЕНО, 2021. – С. 338.